El concepto de derivada fue desarrollado por Leibniz y Newton. Leibniz fue el primero en publicar la teoría, pero parece ser que Newton tenía papeles escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a la rivalidad entre Alemania e Inglaterra, esto produjo grandes disputas entre los científicos proclives a uno y otro país.
Newton llegó al concepto de derivada estudiando las tangentes y Leibniz estudiando la velocidad de un móvil.
La derivada es la herramienta más poderosa inventada por el hombre. El año de su invento se llama annus mirabilis, que fue el año en que Isaac Newton estableció la Teoría de la Gravitación Universal y el Cálculo Diferencial, y este "año maravilloso" fue el de 1666. (En rigor trabajó entre 1665 y 1666).
Desde hace 2010 - 1666 = 344 años la herramienta matemática llamada derivada parece inmutable explicando la
gran parte de los fenómenos de la naturaleza.
La derivada como tal, paradójicamente, no existe en la naturaleza, es un invento del cerebro humano que sirve para explicar el desarrollo dinámico de la mayoría de los fenómenos naturales. Históricamente la derivada sirvió para el
estudio de la posición dinámica de un objeto a través del tiempo. Esto es si la posición de un objeto es conocida en cualquier momento entonces podemos conocer la velocidad de su desplazamiento, entre otras.
La derivada de una función en un punto se define de la siguiente manera:
La derivada de una función en un punto se obtiene como el límite del cociente incremental: el incremento del valor de la función con respecto al incremento de la variable, cuando este tiende a cero.
Atención: La derivada de una función en un punto,si existe, es un número real.
A continuación les dejo un link donde pueden encontrar el esquema anterior en una planilla dinámica de Geogebra donde seguramente se pueda visualizar mejor la situación planteada.
DEFINIREMOS LA FUNCIÓN DERIVADA DE LA SIGUIENTE MANERA:
Calcular la derivada de numerosas funciones aplicando la fórmula (B) es muy laborioso y complicado, por tal razón, a continuación se suministra la siguiente tablas:
A modo de ejemplo un vídeo donde se calcula la función derivada de un polinomio.
El teorema de Lagrange dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) que cumple:
Esta es una buena forma de explicar este teorema y seguro te resultará mucho más sencilla su comprensión.
Dejo un applet para experimentr este resultado y que cada estudiante pueda darle sentido.
1Calcula las derivadas de las funciones: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2Calcula mediante la fórmula de la derivada de una potencia: 1 2 3 4 5 6
3Calcula mediante la fórmula de la derivada de una raíz: 1 2 3
4Deriva las funciones exponenciales 1 2 3 4 5
5Calcula la derivada de las funciones logarítmicas: 1 2 3 4 5
Problemas mas complejo de derivadas
1Calcula la derivada de la función logarítmica:
2Derivar la función:
3Derivar:
4Calcular la derivada de la función:
5Derivar:
6Un cuadrado tiene 2 m de lado. determínese en cuánto aumenta el área del cuadrado
cuando su lado lo hace en un milímetro. Calcúlese el error que se comete al usar
difernciales en lugar de incrementos.
7Hallar la variación de volumen que experimenta un cubo, de arista 20 cm, cuando ésta aumenta 0.2 cm su longitud.
8Calcula el error absoluto y relativo cometido en el cálculo del volumen de una
esfera de 12.51 mm de diámetro, medido con un instrumento que aprecia milésimas de
centímetro. 9Si el lugar de se halla . ¿Cuáles son las aproximaciones
del error absoluto y relativo?
Les dejo el siguiente cuento en el cual se relata un romance incluyendo conceptos matemáticos muy inteligentemente utilizados. SIN DUDA UNA JOYITA MATEMÁTICA-LITERARIA
Veraneaba una derivada enésima en un pequeño chalet situado en la recta del infinito del plano de Gauss, cuando conoció a un arcotangente simpatiquísimo y de espléndida representación gráfica, que además pertenecía a una de las mejores familias trigonométricas.
En seguida notaron que tenían propiedades comunes.
Un día, en casa de una parábola que había ido a pasar allí una temporada con sus ramas alejadas, se encontraron en un punto aislado de ambiente muy íntimo. Se dieron cuenta de que convergían hacia límites cuya diferencia era tan pequeña como se quisiera. Había nacido un romance. Acaramelados en un entorno de radio épsilon, se dijeron mil teoremas de amor.
Cuando el verano paso, y las parábolas habían vuelto al origen, la derivada y el arcotangente eran novios. Entonces empezaron los largos paseos por las asíntotas siempre unidos por un punto común, los interminables desarrollos en serie bajo los conoides llorones del lago, las innumerables sesiones de proyección ortogonal.
Hasta fueron al circo, donde vieron a una troupe de funciones logarítmicas dar saltos infinitos en sus discontinuidades. En fin, lo que eternamente hacían los novios.
Durante un baile organizado por unas cartesianas, primas del arcotangente, la pareja pudo tener el mismo radio de curvatura en varios puntos. Las series melódicas eran de ritmos uniformemente crecientes y la pareja giraba entrelazada alrededor de un mismo punto doble. Del amor había nacido la pasión. Enamorados locamente, sus gráficas coincidían en más y más puntos.
Con el beneficio de las ventas de unas fincas que tenia en el campo complejo, el arcotangente compro un recinto cerrado en el plano de Riemann. En la decoración se gasto hasta el ultimo infinitésimo. Adorno las paredes con unas tablas de potencias de “e” preciosas, puso varios cuartos de divisiones del termino independiente que costaron una burrada.
Empapeló las habitaciones con las gráficas de las funciones mas conocidas, y puso varios paraboloides de revolución chinos de los que surgían desarrollos tangenciales en flor. Y Bernouilli le presto su lemniscata para adornar su salón durante los primeros días. Cuando todo estuvo preparado, el arcotangente se traslado al punto impropio y contemplo satisfecho su dominio de existencia.
Varios días después fue en busca de la derivada de orden n y cuando llevaban un rato charlando de variables arbitrarias, le espeto, sin mas:
- Por que no vamos a tomar unos neperianos a mi apartamento? De paso lo conocerás, ha quedado monísimo.
Ella, que le quedaba muy poco para anularse, tras una breve discusión del resultado, aceptó.
El novio le enseño su dominio y quedo integrada. Los neperianos y una música armónica simple, hicieron que entre sus puntos existiera una correspondencia unívoca. Unidos así, miraron al espacio euclídeo. Los astroides rutilaban en la bóveda de Viviany… Eran felices!
- No sientes calor? – dijo ella
- Yo si. Y tu?
- Yo también.
- Ponte en forma canónica, estarás mas cómoda.
Entonces el le fue quitando constantes. Después de artificiosas operaciones la puso en paramétricas racionales…
- Que haces? Me da vergüenza… – dijo ella
- Te amo, yo estoy inverso por ti…! Déjame besarte la ordenada en el origen…! No seas cruel…! ven…! Dividamos por un momento la nomenclatura ordinaria y tendamos juntos hacia el infinito…
El la acaricio sus máximos y sus mínimos y ella se sintió descomponer en fracciones simples.
(Las siguientes operaciones quedan a la penetración del lector)
Al cabo de algún tiempo la derivada enésima perdió su periodicidad. Posteriores análisis algebraicos demostraron que su variable había quedado incrementada y su matriz era distinta de cero.
Ella le confeso a el, saliéndole los colores:
- Voy a ser primitiva de otra función.
El respondió:
- Podríamos eliminar el parámetro elevando al cuadrado y restando.
- Eso es que ya no me quieres!
- No seas irracional, claro que te quiero. Nuestras ecuaciones formaran una superficie cerrada, confía en mi.
La boda se preparo en un tiempo diferencial de t, para no dar que hablar en el circulo de los 9 puntos.
Los padrinos fueron el padre de la novia, un polinomio lineal de exponente entero, y la madre del novio, una asiroide de noble asíntota.
La novia lucia coordenadas cilíndricas de Satung y velo de puntos imaginarios.
Oficio la ceremonia Cayley, auxiliado por Pascal y el nuncio S.S. monseñor Ricatti.
Hoy día el arcotangente tiene un buen puesto en una fabrica de series de Fourier, y ella cuida en casa de 5 lindos términos de menor grado, producto cartesiano de su amor.
Si te resultó interesante el cuento no puedes perderte la sigueinte interpretación del mismo hecha por Cristina Mirinda
se halla 
. ¿Cuáles son las aproximaciones
